Exercices corrigés: spécialité maths en terminale générale (2024)

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.
Les achats sur internet représentent des ventes, les achats en magasin d'électroménager des ventes et ceux en grandes surfaces des ventes.
Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :

• pour les clients sur internet;
• pour les clients en magasin d'électroménager ;
• pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.
On définit les événements suivants :

• : « le client a effectué son achat sur internet» ;
• : « le client a effectué son achat en magasin d'électroménager»;
• : « le client a effectué son achat en grande surface»;
• : « le client est satisfait du service clientèle».

Si est un événement quelconque, on notera son événement contraire et sa probabilité.

1. Reproduire et compléter l'arbre suivant.

   

2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
   
3. Démontrer que .
   
4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet? On donnera un résultat arrondi à près.
   
5. Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
   1. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Déterminer la probabilité, arrondie à près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
   
   
6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à 0,99.
   
7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.

   Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire égale à la somme de deux variables aléatoires et .
   La variable aléatoire modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.
   On admet que les variables aléatoires et sont indépendantes, et on donne :

   • L'espérance et la variance ;
   • L'espérance et la variance .
   1. Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
   2. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à .

Correction
Bac 2024, 5 points

1. 
   

   

2. La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle est la probabilité de l'intersection
   
3. D'après la formule des probabilités totales, on a
   

   

4. Sachant que le client est satisfait du service clientèle, la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet est
   

   

5. 1. On répète fois l'expérience aléatoire: « contacter un client au hasard», de manière identique et indépendante (car le choix est assimilé à un tirage avec remise), et dont le succès est « le client est satisfait» de probabilité .
      Ainsi, la variable aléatoire égale au nombre de succès, c'est-à-dire au nombre de clients satisfaits dans l'échantillon, suit la loi binomiale de paramètre et .
      
   2. Avec la calculatrice, on trouve que
      

      

      
      
   
   
6. On cherche la taille minimale de l'échantillon pour que et
   

   

   
   soit
   

   

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   et donc, en appliquant le logarithme qui est croissant, on obtient
   

   

   
   et alors, en divisant par , on trouve donc
   

   

   
   Il faut dnc contacter au moins 21 clients.
   
7. 1. Par linéarité de l'espérance on
      

      

      
      et, comme les variables sont indépendantes, on a
      

      

      
      
   2. On cherche ici
      

      

      
      Or est le nombre de jours entiers, et donc
      

      

      
      On applique alors l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
      

      

      
      soit ici, avec ,
      

      

      
      et alors
      

      

      
      d'où
      

      

      
      

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